JAUL 4 BLOG " STAIN ZAWIYAH COT KALA LANGSA " PMA " VIII " 6 ": 2013

Sabtu, 08 Juni 2013

Pengertian Matriks dan Jenis Jenis Matriks

Metriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

Bentuk Matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

atau dalam representasi dekoratfinya

Perkalian Skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

$\lambda\cdot A := (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}$

Contoh perhitungan :

$5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -15 & 10 \\ 5 & 10 & 35 \end{pmatrix}$

Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

$c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}$

Contoh perhitungan :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 3 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) \\ 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 0 & 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 6 \cdot (-3) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ 39 & -12 \end{pmatrix}$

Jenis-jenis Matriks

Jenis-jenis matriks dapat dibagi berdasarkan ordo dan elemen / unsur dari matriks tersebut.

Berdasarkan ordo Matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

Matriks Bujursangkar adalah matriks yang memiliki ordo n x n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom yang terdapat dalam mtriks tersebut. Matriks ini disebut juga dengan matriks persegi berordo n.

Contoh :

Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A = ( 2 1 3 -7 )

Matriks Kolom adalah Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.

Contoh :

Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

Contah :

Matriks datar adalah Matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

Contoh :

Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo m x n, ditulis dengan huruf O.

contoh :

Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

Contah :

Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .

Contoh :

Dimana Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

Contoh :

Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.

Contoh :

Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .

Contoh :

Rabu, 05 Juni 2013

Perbedaan permutasi dan kombinasi dan tentang permutasi siklis

Permutasi adalah susunan n unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya.
Sedangkan kombinasi adalah susunan n unsur berbeda dengan tidak memperhatikan urutan.

Misalkan ada a, b, dan c. pada permutasi kita memandang ab itu berbeda dengan ba $(ab \ne ba)$ . Sedangkan pada kombinasi ab dipandang sama dengan ba $(ab=ba)$ .
Itulah perbedaan terpenting dalam membedakan antara kombinasi dan permutasi.

Permutasi siklis
Prinsipnya sama dengan permutasi. Hanya saja di sini ada kata siklis yang perlu diperhatikan. Misalnya ada 3 orang. Sebut saja namanya a, b, dan c. mereka akan duduk di dua macam kursi. Yang pertama yaitu kursi panjang dan yang kedua yaitu kursi melingkar.
Ketika duduk di kursi yang panjang, maka akan ada kemungkinan-kemungkinan seperti ini.

$abc, acb, bca, bac, cab$ dan $cba$

Sama halnya kita menggunakan permutasi untuk menghitungnya.

Sekarang bagaimana jika mereka duduk di kursi yang melingkar?
Perhatikan bahwa dalam keadaan melingkar. Posisi bca, abc, dan cab hanya memberikan satu posisi. Lihat bahwa posisi tersebut sama. Posisi a diapit oleh b dan c, posisi b diapit oleh a dan c, dan posisi c diapit oleh a dan b.
demikian halnya dengan posisi acb, cba, dan bac. Posisi tersebut juga sama.

Sehingga posisi tiga orang duduk melingkar hanya ada dua posisi. Posisi duduk melingkar ini disebut permutasi siklis.
Permutasi siklis dari n adalah

$P_s=(n-1)!$

Peluang (kaidah perkalian) [Belajar SMA] [PS]

Jika tempat pertama itu berisi $n_1$ kemungkinan dan tempat kedua berisi $n_2$ kemungkinan, dan seterusnya sampai di tempat ke-k berisi $n_k$ kemungkinan, maka banyaknya kemungkinan yang mungkin terjadi untuk mengisi k tempat yang tersedia itu adalah
$n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$

Ilustrasi,

$n_1$

$n_2$

$n_3$

$n_4$

Maka, total kemungkinannya adalah $n_1 \times n_2 \times n_3 \times n_4$

SOAL-SOAL DAN SOLUSI
[satu] Dari kota A ke kota B bisa ditempuh dengan 3 cara, dari kota B ke kota C dapat di tempuh dengan 5 cara. Jika dari kota A ingin menuju kota C dengan melalui kota B, ada berapa banyak cara yang bisa dipilih?
JAWAB :
Dengan menggunakan kaidah perkalian, didapatkan $3 \times 5=15$

[dua] Dari angka-angka 1, 2, 3 akan dibuat bilangan 2-angka, banyaknya bilangan yang dapt dibuat jika angka yang telah digunakan, boleh digunakan lagi (boleh berulang) adalah …
JAWAB :

puluhan	satuan
3	3

Banyaknya kemungkinan angka yang digunakan sebagai puluhan ada sebanyak 3 angka, angka puluhan bisa diisi dengan 1, 2 atau 3. Begitu juga untuk tempat satuan, ada 3 kemungkinan, jadi, total ada 3 x 3 = 9 kemungkinan.. .
Jika kita tuliskan semua kemungkinannya yaitu 11, 22, 33, 12, 13, 21, 23, 31, 32

[tiga] Dari angka-angka 1, 2, 3 akan dibuat bilangan 2-angka, banyaknya bilangan yang dapt dibuat jika angka yang telah digunakan, tidak boleh digunakan lagi (tidak boleh berulang) adalah …
JAWAB :

puluhan	satuan
3	2

Banyaknya kemungkinan angka yang digunakan sebagai puluhan ada sebanyak 3 angka, angka puluhan bisa diisi dengan 1, 2 atau 3. Untuk tempat satuan, hanya ada 2 kemungkinan. Karena syarat tidak boleh berulang. Karena andai saja di tempat puluhan diisi angka 1, maka di tempat satuan tidak boleh diisi 1, di tempat satuan hanya boleh di isi dengan 2 atau 3. Sehingga hanya ada 2 kemungkinan di tempat satuan. Jadi, total kemungkinannya adalah 3 x 2 = 6

[empat] dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan dibuat bilangan 4 angka, banyaknya kemungkinan yang bisa dibuat jika angka yang digunakan boleh berulang adalah
JAWAB :

Karena angka yang digunakan boleh berulang, maka ada sebanyak $6^4$ kemungkinan

[lima] Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan dibuat bilangan 4-angka yang lebih besar dari 4000, ada berapa banyak kemungkinan jika angka yang digunakan boleh berulang
JAWAB :

Mengaoa di tempat ribuan hanya berisi 3? Karena, bilangan yang diinginkan adalah bilangan yang lebih besar dari 4000. Jadi, di tempat ribuan hanya bisa diisi oleh angka 4, 5 atau 6.
Jadi, total kemungkinannya adalah 3 x 6 x 6 x 6 kemungkinan

Determinan matriks segitiga dan pertukaran baris

$\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ atau yang ini $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$

Sudah kelihatan. Mungkin sudah bisa menangkapnya. Matriks segitiga adalah matriks yang mempunyai unsur 0 untuk semua unsur di bawah diagonal utama. Atau di atas diagonal utama.
Untuk contoh-contoh yang tadi, angka 0 berada di bawah diagonal utama.
Contoh berikut untuk angka 0 di atas diagonal utama

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 4 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \end{bmatrix}$

Berapapun ukuran matriknya, jika memenuhi syarat tersebut, maka disebut matriks segitiga.

Uniknya, untuk mencari determinan matriks segitiga, kita hanya perlu mencari perkalian unsur-unsur pada diagonal utamanya saja. Misalnya kita ingin mencari determinan matriks berikut :

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 4 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \end{bmatrix}$

Maka, determinannya adalah $1 \times 4 \times -2 \times -2=16$

Mudah bukan.

Untuk mencari determinan matriks pada contoh-contoh yang ada di atas sebelumnya, juga sangatlah mudah.
Determinan matriks
$\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

Determinannya adalah $4 \times 3=12$

Untuk matriks

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$

Determinannya adalah $1 \times 5 \times -2=-10$

Pegang konsep ini, karena nanti kita akan menggunakannya untuk permasalahan mencari determinan yang lebih rumit.

Pertukaran baris atau kolom pada matriks

Pertukaran baris. Apa maksudnya?
Pertukaran baris ya barisnya ditukar. Hehe. Di sini yang akan dibahas yaitu mengenai determinan suatu matriks jika barisnya ditukar. Apakah determinannya tetap atau bagaimanakah hubungannya?

Berapakah determinan matriks ini :

$\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

Kita tadi telah mencarinya dan menemukan bahwa determinannya adalah 12
Tentu kita juga bisa menggunakan metode Sarrus untuk menemukan determinannya yaitu $4 \times 3-0 \times (-1)=12$

Bagaimana jika barisnya ditukar?
Berapakah determinan matriks berikut :

$\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$

Determinannya yaitu $0 \times (-1)-4 \times 3=-12$

Ternyata determinannya adalah negatifnya dari determinan sebelum ditukar.

Perhatikan juga matriks berikut :

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$

Determinannya adalah $-10$

Sekarang, berapakah determinan dari matriks berikut :

$\begin{bmatrix} 0 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$

Setelah dihitung ternyata determinannya yaitu sama dengan 10.

Memang, determinan suatu matriks jika ditukar barisnya (satu kali) adalah sama dengan negatif dari determinan matriks semula.
Jika ditukar dua kali, tentu saja sama dengan determinan semula.

Permasalahan :
Tentukan determinan matriks berikut :

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 9 \end{bmatrix}$

Solusi :
Tukar baris kedua dan ketiga, diperoleh :

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 9 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Diperoleh matriks segitiga, maka determinan matriks segitiga sama dengan $1 \times -2 \times 1=-2$

Karena matriks semula adalah pertukaran baris 1 kali, sehingga membentuk matriks segitiga, maka determinan matriks semula adalah $-(-2)=2$

Contoh soal :
Tentukan determinan matriks berikut :
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

Penyelesaian :
Tukar baris ketiga dengan baris kedua

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

Kemudian tukar baris ketiga dengan baris ke empat

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Diperoleh matriks segitiga, dan tentu saja determinan matriks segitiga tersebut adalah 1.
Matriks awal adalah 2 kali menukar untuk membentuk matriks segitiga. Sehingga determinan dari matriks awal tadi adalah 1