Rabu, 05 Juni 2013

Determinan matriks segitiga dan pertukaran baris

\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} atau yang ini \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}


Sudah kelihatan. Mungkin sudah bisa menangkapnya. Matriks segitiga adalah matriks yang mempunyai unsur 0 untuk semua unsur di bawah diagonal utama. Atau di atas diagonal utama.
Untuk contoh-contoh yang tadi, angka 0 berada di bawah diagonal utama.
Contoh berikut untuk angka 0 di atas diagonal utama


\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 4 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \end{bmatrix}


Berapapun ukuran matriknya, jika memenuhi syarat tersebut, maka disebut matriks segitiga.


Uniknya, untuk mencari determinan matriks segitiga, kita hanya perlu mencari perkalian unsur-unsur pada diagonal utamanya saja. Misalnya kita ingin mencari determinan matriks berikut :


\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 4 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \end{bmatrix}


Maka, determinannya adalah 1 \times 4 \times -2 \times -2=16


Mudah bukan.


Untuk mencari determinan matriks pada contoh-contoh yang ada di atas sebelumnya, juga sangatlah mudah.
Determinan matriks
\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}


Determinannya adalah 4 \times 3=12


Untuk matriks


\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}


Determinannya adalah 1 \times 5 \times -2=-10


Pegang konsep ini, karena nanti kita akan menggunakannya untuk permasalahan mencari determinan yang lebih rumit.




Pertukaran baris atau kolom pada matriks


Pertukaran baris. Apa maksudnya?
Pertukaran baris ya barisnya ditukar. Hehe. Di sini yang akan dibahas yaitu mengenai determinan suatu matriks jika barisnya ditukar. Apakah determinannya tetap atau bagaimanakah hubungannya?


Berapakah determinan matriks ini :


\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}


Kita tadi telah mencarinya dan menemukan bahwa determinannya adalah 12
Tentu kita juga bisa menggunakan metode Sarrus untuk menemukan determinannya yaitu 4 \times 3-0 \times (-1)=12


Bagaimana jika barisnya ditukar?
Berapakah determinan matriks berikut :


\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}


Determinannya yaitu 0 \times (-1)-4 \times 3=-12


Ternyata determinannya adalah negatifnya dari determinan sebelum ditukar.




Perhatikan juga matriks berikut :


\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}


Determinannya adalah -10


Sekarang, berapakah determinan dari matriks berikut :


\begin{bmatrix} 0 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}


Setelah dihitung ternyata determinannya yaitu sama dengan 10.




Memang, determinan suatu matriks jika ditukar barisnya (satu kali) adalah sama dengan negatif dari determinan matriks semula.
Jika ditukar dua kali, tentu saja sama dengan determinan semula.


Permasalahan :
Tentukan determinan matriks berikut :


\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 9 \end{bmatrix}


Solusi :
Tukar baris kedua dan ketiga, diperoleh :


\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 9 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}


Diperoleh matriks segitiga, maka determinan matriks segitiga sama dengan 1 \times -2 \times 1=-2


Karena matriks semula adalah pertukaran baris 1 kali, sehingga membentuk matriks segitiga, maka determinan matriks semula adalah -(-2)=2




Contoh soal :
Tentukan determinan matriks berikut :
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}


Penyelesaian :
Tukar baris ketiga dengan baris kedua


\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}


Kemudian tukar baris ketiga dengan baris ke empat


\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}


Diperoleh matriks segitiga, dan tentu saja determinan matriks segitiga tersebut adalah 1.
Matriks awal adalah 2 kali menukar untuk membentuk matriks segitiga. Sehingga determinan dari matriks awal tadi adalah 1
Diposting oleh di
Label:

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)