Matriks (Konsep)

e.. Untuk yang mau .pdf, bisa didownload di bawah


Download   Bagan Matriks Dasar .pdf

Rumus Trigonometri Matematika

Rumus trigonometri umum

Sudut-Sudut Istimewa sin cos tan 0 30 45 60 90 derajat

Aturan sin cos tan lain

Rumus-rumus Trigonometri pada segitiga dengan sisi a b c

Aturan sinus

Aturan Cosinus

Luas Segitiga 2 sisi dan 1 sudut

Luas segitiga dengan 3 sisi akan dibahas lain waktu

Rumus jumlah 2 sudut trigonometri sin cos tan

sepertinya gambar ini ada yang salah, nanti diperbaiki

Sudut 2A atau sin 2x, cos 2x, tan 2x

Rumus kali trigonometri sin cos cos sin cos cos -sin sin

Rumus jumlah 2 trigonometri sin cos cos sin cos cos -sin sin

Persamaan Trigonometri mudah sekali dikerjakan

Bentuk a Cos x + b Sin x = k cos x-teta

Bentuk a Cos x + b Sin x = c

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi f(x) =a Cos x + b Sin x


yang ini sering juga keluar di soal snmptn

Aturan Cosinus Pada Segitiga

Untuk menurunkan rumus aturan cosinus, perhatikan segitiga ABC di bawah ini. Garis CD=h adalah garis tinggi pada sisi c.


Persamaan (4a), (4b), dan (4c) merupakan aturan cosinus.
Untuk melengkapi pembuktian aturan cosinus, di bawah ini ditunjukkan penurunan rumus aturan cosinus dari segitiga tumpul. Perhatikan segitiga tumpul ABC di bawah. Garis CD=h adalah garis tinggi dari titik C pada perpanjangan sisi c.


Aturan Cosinus
Pada segitiga ABC berlaku aturan cosinus yang dapat dinyatakan dengan persamaan

Jika dalam segitiga ABC diketahui sisi-sisi a, b, dan c (sisi-sisi-sisi) maka besar sudut-sudut A, B, dan C dapat ditentukan dengan rumus:



Sumber: http://matematika.us/326/aturan-cosinus/

Belajar Matematika Dasar (Materi Pecahan)

Cara cepat belajar matematika tidak akan mungkin dapat dikuasi tanpa menguasai hal-hal dasar dalam pelajaran matematika. Contoh: Seperti kebanyakan keluhan dari para siswa SD pada umumnya, bahwa materi pecahan di SD itu cukup sulit. Lalu mereka ingin mengetahui bagaimana caranya agar dapat dengan mudah mengerjakan soal matematika yang berkaitan dengan pecahan. Untuk mampu mengerjakan berbagai operasi hitung pecahan, siswa harus sudah menguasai perkalian bilangan, dan yang sangat ditekankan adalah siswa harus sudah hafal perkalian 1-10. 

Mengapa demikian? Sudah tentu karena dalam mengerjakan operasi pecahan tertentu pasti melibatkan perkalian bilangan. Yang jangan diabaikan juga adalah pembagian, karena beberapa operasi dalam pecahan juga membutuhkan pembagian bilangan.

Misalkan saja siswa diminta membandingkan dua pecahan biasa.

Contoh:

Bandingkanlah dua pecahan berikut dengan memberikan tanda >, <, atau =.

Untuk soal nomor 1, penyelesaiannya sangat mudah karena penyebut kedua pecahan sudah sama, sehingga siswa hanya perlu melihat penyebut mana yang lebih tinggi nilainya. Penyebutnya adalah 2 dan 3. Suadh jelas bahwa 3 lebih tinggi nilainya dari 2. Sehingga jawaban soal nomor 1 seperti berikut.

Untuk soal nomor 2, penyelesaiannya juga mudah karena pembilang kedua pecahan sama, sehingga siswa hanya perlu melihat pembilang mana yang lebih rendah/kecil nilainya. Untuk suatu penyebut apa saja (bilangan real), semakin tinggi nilai pembilangnya maka nilai pecahan tersebut akan semakin kecil dan sebaliknya semakin kecil/rendah nilai pembilangnya maka nilai pecahan itu semakin tinggi. Sehingga jawaban soal nomor 2 seperti berikut.

Untuk soal nomor 3, penyelesaiannya membutuhkan aturan “menyamakan penyebut” dalam operasi pecahan. Untuk menyamakan penyebut suatu pecahan siswa dituntut untuk menguasai perkalian bilangan, karena dalam menyamakan penyebut suatu pecahan harus mengetahui kelipatan dari masing-masing penyebut pecahan tersebut sampai menemukan kelipatan persekutuan terkecilnya (KPKnya).

Kelipatan 5 = 5, 10, 15, 20, …

Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, …

Dengan demikian KPK dari 3 dan 5 adalah 15

Sehingga pecahan dapat diubah menjadi:

Ketika penyebut kedua pecahan sudah sama, barulah dapat diterapkan cara seperti soal nomor 1 di atas. Sehingga jawaban soal nomor 3 seperti berikut.

Akan tetapi cara seperti memakan waktu yang lumayan, dan sering menimbulkan kesalahan pada saat siswa membentuk penyebut baru dari pembilang yang ditentukan.

Untuk membantu siswa menyelesaikan dengan dengan mudah, cepat, dan benar, penulis memiliki trik untuk masalah seperti soal nomor 3 di atas. Yakni dengan cara “kali silang”. Perhatikan langkahnya!

a.       Kalikan penyebut pecahan yang disebelah kiri dengan pembilang pecahan disebelah kanan, lalu hasilnya diletakkan disebelah kiri (dimana penyebut yang digunakan).  (1 x 5 = 5)

b.      Kemudian kalikan penyebut pecahan yang disebelah kanan dengan pembilang disebelah kiri, lalu hasilnya diletakkan disebelah kanan (dimana penyebut yang digunakan). (2 x 3 = 6)

Jika dibandingkan, sudah tentu pembaca skalian tahu bahwa 5 kurang dari 6, sehingga: 5 < 6. Kemudian kembali pada soal sebenarnya.

Cara ini dapat digunakan pada semua perbandingan dua pecahan biasa (selama penyebut dan pembilangnya bilangan real).

Semoga bermanfaat ya sahabat….!!!

Latihan Soal Matematika Lagi...!!

Penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua peubah adalah pasangan berurut (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut. Himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan dengan suatu daerah pada bidang kartesius (bidang XOY) yang diarsir (Yuliatmoko & Sari S., 2008)

Untuk lebih memahami daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah, pelajari contoh berikut.

2x - 5y > 20

Penyelesaian:

Mula-mula dilukis garis 2x – 5y = 20 dengan menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X ⇒ y = 0, diperoleh x = 10 (titik (10,0))

Titik potong garis dengan sumbu Y ⇒ x = 0, diperoleh y = –4 (titik (0,–4))

Garis 2x – 5y = 20 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

2×0 – 5×0 > 20

               0 > 20 (salah), artinya tidak dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di bawah.

Pedoman Penyusunan Proposal Penelitian

Pedoman Penyusunan Proposal Penelitian

BAB I  PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

     Latar belakang masalah berisi tentang permasalahan yang menjadi dasar dilakukannya penelitian, tentunya

     masalah yang ada ditempat penelitian yang akan dilakukan. atau alasan-alasan yang menjadi sebab dilaku-

     kannya penelitian.

B. Rumusan Masalah

     Berisi pertanyaan penelitian yang akan dijawab melalui penelitian

C. Tujuan Penelitian

     Berisi tujuan yang ingin dicapai melalui penelitian. Tujuan penelitian ini bergantung pada rumusan masalah.

D. Manfaat Penelitian

     Berisi tentang manfaat penelitian bagi pihak yang berkaitan dengan penelitian. Misal: jika penelitiannya di

     sekolah, maka manfaatnya tentunya bagi siswa, guru, sekolah/lembaga, dan peneliti sendiri.

(catatan: untuk BAB I, terkadang juga diminta Batasan Masalah dan Kerangka Penulisan)

BAB II  KAJIAN/TINJAUAN PUSTAKA

Untuk Kajian/Tinjauan Pustaka disesuaikan dengan variabel-variabel pada judul penelitian. Boleh hanya sesuai variabel, atau pengembangan dari variabel-variabel yang digunakan.

Untuk penelitian non PTK, biasanya pada bagian akhir memuat kerangka berfikir dan hipotesis penelitian.

BAB III  METODE PENELITIAN

Nah, bagian ini nih yg perlu bimbingan extra biasanya. Apalagi kalau penelitiannya kuantitatif. Mengapa?

Karena penelitian kuantitatif sangat banyak desain penelitiannya.

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

Semoga bermanfaat....!!!

Pembuktian Matematika : Benarkah -2 = 2 ?

Belajar Matematika itu Mudah….,begitu kata Guru Matematika saya dulu, asalkan kamu mau dan sering melakukan latihan soal.

Kali ini Guru Matematika Offline akan membuktikan rasa kurang yakinnya terhadap pernyataan dalam matematika. Perhatikan kedua pernyataan benar di bawah ini!

(i) a ≠b  ==> benar

(ii) -2 ≠ 2   ==> benar

Tapi saya kurang yakin terhadap kebenaran pernyataan (ii), mengapa?
 

Cermati pembuktian berikut!

4 = 4  ==>  benar bukan?

(-2)² = 2²  ==> benar bukan? Karena setiap bilangan negatif dikuadratkan pasti hasilnya positif.

 Jika  kedua ruas dikalikan dengan 1/2², maka diperoleh:

Pangkat-pangkat 2 pada kedua pecahan di atas boleh dicoret/diabaikan karena bilangan pokoknya sama, yaitu 2 dan semua pangkatnya sama. Sehingga diperoleh hasil berikut:

 

Jika ingin memperoleh hasil bilangan bulat, maka kedua ruas dikalikan dengan 2, karena penyebut kedua pecahan adalah 2. Sudah menjadi hukum ketentuan dalam matematika, jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan yang sama, maka tidak mempengaruhi nilai operasi pada masing-masing ruas. Dengan demikian maka kedua ruas menjadi:

 

-2 = 2

Pada hasil akhir ini jelas anda baca “negatif dua sama dengan dua”.

Dengan hasil pembuktian ini, masih yakin kah anda bahwa -2 ≠ 2??

Jika keyakinan anda masih teguh, berikanlah pembuktian logis sesuai dengan kaidah matematika yang benar, agar ilmu sesat ini tidak menular….!! :)

Silakan ditanggapi……!!

Oleh: Guru Matematika Offline
(Ini rahasia: Makanya jgn suka mencoret….! Karena coretan tak terkendali itulah yg membuat sesat)

Sifat-sifat Logaritma

Belajar matematika itu ada kalanya kita harus dipaksa untuk menghafal. Namun yang harus diingat adalah jangan pernah lakukan dalam waktu semalam, karena pasti akan tidak bertahan lama dalam ingatan. Jadi, cara yang benar untuk menghafal rumus2 atau aturan2 dalam matematika itu adalah dengan sesering mungkin melakukan latihan soal yang berkaitan dengan rumus matematika yang akan dihafal.

Seperti halnya dengan sifat2 dalam logaritma berikut.

Sifat-sifat Logaritma

1.       Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:

 

2.   Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:

3.   Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:

 
4.   Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:

 

5.  Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Jika Anda memiliki dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel, dan pertidaksamaan tersebut saling berkaitan maka terbentukl ah suatu sistem. Sistem inilah yang dinamakan sistem per tidaksamaan linear dua variabel.

Defi nisi Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem yang terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan dan setiap pertidaksamaan tersebut mempunyai dua variabel.

Langkah-langkah menentukan daerah) penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel sebagai berikut.

a.      Gambarkan setiap garis dari setiap pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

b.      Gunakanlah satu titik uji untuk menentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan linear dua variabel. Gunakan arsiran yang berbeda untuk setiap daerah yang memenuhi pertidaksamaan yang berbeda.

c.       Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, yaitu daerah yang merupakan irisan dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel pada langkah b.

Supaya Anda memahami langkah-langkah dalam menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel, pelajari contoh soal berikut.

Ø  Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut.

5x + 4y ≤ 20

7x + 2y ≤ 14

x ≥ 0

y ≥ 0

Jawab:

Gambarkan setiap garis batas dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel, yaitu 5x + 4y = 20, 7x + 2y = 14, x = 0 (sumbu y), y = 0 (sumbu x).

Gunakan titik uji (0, 0) pada setiap pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan

• 5x + 4y ≤ 20

5(0) + 4(0) ≤ 20

0 _ 20 (memenuhi)

Daerah yang memenuhi berada di sebelah kiri garis5x + 4y = 20

• 7x + 2y ≤ 14

7(0) + 2(0) ≤ 14

0 _ 14 (memenuhi)

Daerah yang memenuhi berada di sebelah kiri garis7x + 2y = 14

• x ≥ 0 dan y ≥ 0

Daerah yang memenuhi berada di kuadran I. Dengan pola yang berbeda, arsirlah (raster) setiap daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan linear dua variabel tersebut, seperti ditunjukkan pada gambar berikut.

Keluguan Matematika

Keluguan 1.

Keluguan 2

Keluguan 3

Kebingungan

Sumber: http://mantabjayapolpolan.blogspot.