Faktorisasi & Permutasi

Definisi:
Hasil kali bilangan asli dari 1 sampai n ditulis dengan notasi n! (n faktorial). Definisi faktorial:
1. n! = 1 . 2 . 3 … (n – 1) n atau n! = n (n – 1) (n – 2) … 4 . 3 . 2 . 1
2. 1! = 1
3. 0! = 1


Contoh:
1. 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1
= 120
2. 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
3.
= (n + 1) n
= n2 + n


4. Hitunglah!
= 7!
5. Tulis dengan notasi faktorial
a. 6 x 5 x 4 =
b.
6. Hitunglah jika = 6
Jawab = →
n (n – 1) = 6
n2 – n = 6
n2 – n – 6 = 0
(n – 3) (n + 2) = 0
n = 3 ν n = -2
Jadi n = 3
7. = 42 hitunglah nilai n
Jawab: = 42
= 42
( n + 2) (n + 1) = 42
n2 + 3n + 2 = 42
n2 + 3n – 40 = 0
(n + 8) (n – 5) = 0
n = -8 ν n = 5
Jadi nilai n = 5


Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda
Permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda adalah penyusunan r unsur yang diambil dari n unsur yang diketahui, biasanya dinotasikan n Pr atau P (n, r) atau Pn, r atau Pnr.
Untuk selanjutnya kita akan menggunakan notasil n Pr.
Kita sediakan r kotak untuk menempatkan unsur-unsur tersebut.
n n – 1 n – 2 n – 3 … n – r + 1
Kotak 1 2 3 4 ke- r
Kota ke- 1 dapat diisi dengan n cara. Kotak ke- 2 dapat diisi dengan (n – 1) cara, karena 1 unsur sudah menempati kotak ke- 1. Kotak ke- 3 dapat diisi dengan (n – 2) cara, demikian seterusnya. Jika proses ini dilanjutkan untuk kotak ke- r yang terakhir dapat diisi dengan (n – (r – 1) cara = (n – r + 1) cara.
Jadi:

n Pr = n (n – 1) (n – 2) … (n – r + 1)
Jika ruas kanan dari n Pr = n (n – 1) (n – 2) … (n – r + 1) dikalikan dengan , maka diperoleh:
n Pr = n (n – 1) (n – 2) … (n – r + 1) .
=
Jadi, n Pr = ket. n = angka yang disediakan
r = angka yang diambil
Contoh:
1. Hitunglah:
a. 5P2 b. 5P5
Jawab:
a. 5P2 =
b. 5P5 =
2. Berapa banyak susunan yang berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf “BUKIT”
Jawab:
Banyaknya susunan huruf-huruf itu adalah permutasi 5 untuk
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
3. Hitunglah n jika (n + 1) P3 = 4nP3 !
Penyelesaian:
(n + 1) P3 = 4 nP3
= 4 .
= 4 .
= 4 .
n + 1 = 4 (n – 2)
n = 4n – 9
3n = 9
n = 3

4. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 akan disusun bilangan yang terdiri atas 4 angka. Hitung banyaknya bilangan yang terjadi jika ditentukan sebagai berikut:
a. 5P4 =
b. → 54 = 625
c. → 1 x 4 x 3 x 2 = 24
d. → 2 x 1 x 1 x 1 = 2
Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Berbeda
Misalkan akan dipermutasikan huruf-huruf dari kata BAB. Jika huruf B pada kata BAB kita indeks menjadi B1AB2, maka huruf-huruf B1AB2 dapat disusun dengan 3! = 6 cara. Susunan huruf-huruf itu sebagai berikut.
B1AB2, B2AB1, AB1B2, AB2B1, B1B2A, dan B2B1A
Kenyataan B1AB2 dan B2AB1 adalah sama, demikian juga untuk AB1B2 dengan AB2B1 dan B1B2A dengan B2B1A. Susunan huruf dari kata BAB adalah BAB, ABB, dan BBA. Jadi, hanya ada 3 cara. Ini diperoleh dari = 3. Secara umum, jika P menyatakan banyaknya permutasi n unsur dengan p unsur yang sama dan q unsur yang sama lainnya, maka


Permutasi Siklis
Jika ada 4 orang duduk berderet dalam satu baris, maka banyaknya susunan duduk dari 4 orang tersebut adalah 4P4 = 4! = 24. Tetapi bagaimana jika 4 orang tersebut duduk mengelilingi meja bundar?
Untuk menentukan susunan duduk dari keempat orang tersebut, satu orang ditentukan dahulu letaknya, misal A, kemudian 3 orang yang lain, yaitu B, C, dan D dapat disusun dengan 3! = 6 cara. Perhatikan skema di samping! Susunan tersebut adalah ABDC, ABDC, ACBD, ACDB, ADCB, dan ADBC. Perlu diketahui bahwa di sini susunan ABCD = BCDA = CDAB = DABC.
Susunan yang berbeda dan membentuk lingkaran dengan memperhatikan urutannya disebut permutasi siklis.
Banyaknya permutasi siklis dari 4 unsur = 3! = (4 – 1)!
Secara umum diperoleh aturan sebagai berikut.
b. Permutasi klinis adalah susunan unsur-unsur yang membentuk lingkaran dengan memperhatikan urutannya.
c. Banyaknya permutasi klinis dari n unsur adalah (n – 1)!


Contoh Soal.
1. Berapa banyak susunan yang berbeda dapat dibentuk dari huru-huruf pada kata:
a. KERTAS b. KARAMBA c. BIOLOGI d. CINCIN
Pemecahan:
a. “KERTAS” terdiri dri 6 huruf berlainan.
Jadi, P = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720.
b. “KARAMBA” terdiri dari 7 huruf dengan 3 huruf sama (A)
Jadi, P = = 7 . 6 . 5 . 4 = 840.
c. “BIOLOGI” terdiri dari 7 huruf dengan 2 huruf I dan 2 huruf O.
Jadi, P = .
d. “CINCIN” terdiri dari 6 huruf dengan 2 huruf C, 2 huruf I, dan 2 huruf N.
Jadi, P =

2. Enam orang duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyaknya susunan duduk yang berbeda dari 6 orang itu?
Pemecahan:
Banyak cara mereka duduk = banyaknya permutasi siklis dari 6 unsur
= (6 – 1)!
= 5!
= 120